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Una vez tengas estos dos campos creados, desde la primera página “carrera” creas un enlace, por el que pasaras una variable del tipo “[a href="asignatura.php?id=identificador_de_la_carrera".

Ahora, en asignatura.php, al crear la Query, le pasas un parámetro al mysql de la forma:
$sSQL="select ID_Asignatura,Nombre_Asignatura from asignatura WHERE carrera_id = ".$_GET['id'].”" ;

Este es el codigo que tengo.

<?php

$servidor = "localhost";
$usuario = "root";
$password = "1234";
$basedatos = "sistema_docentes";
$link = mysql_connect($servidor, $usuario, $password);
mysql_select_db($basedatos, $link);

$sSQL="select ID_Carrera,Nombre_Carrera from carrera";
$rs=mysql_query($sSQL);

echo '’;

while ($row =mysql_fetch_array($rs))
{
echo ”.$row["Nombre_Carrera"].”;
}

mysql_free_result($rs);

?>

Asignatura:
<?php

$servidor = "localhost";
$usuario = "root";
$password = "1234";
$basedatos = "sistema_docentes";
$link = mysql_connect($servidor, $usuario, $password);
mysql_select_db($basedatos, $link);

$sSQL="select ID_Asignatura,Nombre_Asignatura from asignatura " ;
$rs=mysql_query($sSQL);

echo '’;

while ($row =mysql_fetch_array($rs))
{
echo ”.$row["Nombre_Asignatura"].”;
}

mysql_free_result($rs);

?>